PSU Matemáticas ejercicios resueltos N°10

1. En la figura, $ABCD$ es un cuadrado de lado $x$ y $AEFC$ es un rectángulo, entonces el área sombreada es:

A) $2x^2\sqrt{2}$

B) $x^2\sqrt{2}$

C) $x^2$

D) $\dfrac{x^2\sqrt{2}}{2}$

E) $\dfrac{x^2}{2}$

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Alternativa: $C$

Solución:

Como el largo del rectángulo achurado es igual a la diagonal del cuadrado, el largo mide $x\sqrt{2}$. El ancho es igual a la mitad del largo, luego:

Área rectángulo achurado $= x\sqrt{2} \cdot \dfrac{x\sqrt{2}}{2} = x^2 \cdot \dfrac{2}{2} = x^2$

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2. El agua se congela a $32° \textrm{F}$ ó $0° \textrm{C}$ y hierve a $212° \textrm{F}$ ó $100°\textrm{C}$. Si el comportamiento es lineal, la función que expresa $°\textrm{F}$ en función de $°\textrm{C}$ es:

A) $f(x)=\dfrac{9}{5}x+32$

B) $f(x)=\dfrac{5}{9}x+32$

C) $f(x)=\dfrac{9}{5}x$

D) $f(x)=\dfrac{9}{5}x-32$

E) $f(x)=\dfrac{5}{9}x-32$

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Alternativa: $A$

Solución: 

Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta, entonces:

• Si hay $0°\textrm{C}$, entonces equivale a $32°\textrm{F}$, luego el punto es $(0,32)=(x_1,y_1)$
• Si hay $100°\textrm{C}$, entonces a $212°\textrm{F}$, luego el punto es $(100,212)=(x_2,y_2)$

Luego, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta:

$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$

$y=\dfrac{212-32}{100-0}(x-0)+32$

$y=\dfrac{180}{100}(x-0)+32$

$y=\dfrac{9}{5}x+32$
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3. En la figura, $O$ es centro de la circunferencia, $\overline{CA}$ y $\overline{CE}$ son secantes, $DE=5\textrm{cm}$, $CE=21\textrm{cm}$ y $CB=14\textrm{cm}$. El diámetro de la circunferencia mide:

A) $23 \textrm{cm}$
B) $11.5 \textrm{cm}$
C) $10 \textrm{cm}$
D) $5 \textrm{cm}$
E) Ninguna de las medidas anteriores
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Alternativa: $C$
Solución:

Aplicando el teorema de las secantes:

$\overline{CE} \cdot \overline{CD} = \overline{CA} \cdot \overline{CB}$

$21 \cdot 16 = CA \cdot 14$

$24 = CA$

$CA-CB=24-14=10$

Luego, el diámetro de la circunferencia mide $10 \textrm{cm}$
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