PSU Matemáticas ejercicios resueltos N°4

1.Un árbol posee $3$ ramas principales y $12$ ramas secundarias, tiempo después, el mismo árbol posee $5$ ramas principales y $20$ ramas secundarias. Si el crecimiento de las ramas primarias y secundarias tiene un comportamiento lineal. ¿Cuántas ramas secundarias tendrá el árbol si posee $10$ ramas principales?.

A) $50$

B) $40$

C) $37$

D) $28$

E) Ninguna de las cantidades anteriores

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Alternativa: $B$

Solución:

Para resolver este problema debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta, entonces:

• Si tiene $3$ ramas principales, tiene $12$ ramas secundarias. entonces será el punto es $(3,12) = (x_1,y_1)$
• Si tiene $5$ ramas principales, tiene $20$ ramas secundarias. entonces  será el punto $(5,20) = (x_2,y_2)$
  Donde $x$ corresponde a las ramas principales e $y$ a las ramas secundarias.

Luego, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta:

$y=\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x-x_1) + y_1$ 

$y= \dfrac{20-12}{5-3} (x-3)+12$

$y= \dfrac{8}{2} (x-3)+12$

$y= 4x-12+12$

$y=4x$

Ahora, evaluando $x$ en $10$ tenemos que $y=4\cdot 10$ es decir $40$ ramas secundarias 

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2.  Un grupo de $6$ campesinos en la recolección de frutas, se demoran $15$ días trabajando $10$ horas diarias. ¿Cuántos días tardarán $18$ campesinos trabajando $12$ horas diarias?.

A) $4.3$

B) $5$

C) $6$

D) $36$

E) Ninguna de las cantidades anteriores.

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Alternativa: $E$

Solución:

 Sea $C$ = campesinos, $H$ = horas, $D$ = días 

Entonces, esquematizando la información tenemos que:

$C$ $\rightarrow{}$ $H$ $\rightarrow{}$ $D$

$6$ $\rightarrow{}$ $10$ $\rightarrow{}$ $15$

$18$ $\rightarrow{}$ $12$ $\rightarrow{}$ $x$

Donde al analizar las variables vemos que todas son inversamente proporcionales, pues a más campesinos, se tendrán menos días trabajando, y a más horas también se tendrán menos días trabajando. entonces:

$C \cdot H \cdot D = k$ $\Rightarrow{6\cdot 10 \cdot 15 = 18\cdot 12 \cdot x}$ $\Rightarrow{\dfrac{15 \cdot 10 \cdot 6}{12 \cdot 18} =x}$ $\Rightarrow{x = 4,1666...}$ días

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3. En la figura, $DB = 6$, se puede determinar el valor del trazo $AD$ si:

 

(1) $CD = 2\sqrt{3}$

(2) $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ y $BC = 4\sqrt{3}$

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional   

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Alternativa: $B$
Solución:

(1) $CD = 2\sqrt{3}$. Con esta información, no se puede determinar el valor del trazo $AD$, ya que $\overline{CD}$ no es altura.

(2) $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ y $BC = 4\sqrt{3}$. Con esta información, se puede determinar el valor del trazo $AD$, ya que se puede aplicar el teorema de Euclides.

Por lo tanto, la respuesta es (2) por sí sola. 
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