1. En la figura, el triángulo $PQR$ es rectángulo en $R$ y $\overline{RS} \perp \overline{PQ}$, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?.
I. El perímetro del triángulo $RSQ = 4\sqrt{10}+10$
III. $RP = 30$
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
___________________________________________________________________
Alternativa: $A$
Solución:
Ahora aplicando el teorema de Euclides:
$RS = \dfrac{30 \cdot 10}{10\sqrt{10}}$ $\Rightarrow{RS = \dfrac{30}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}}$ $\Rightarrow{RS = \dfrac{30\sqrt{10}}{10}}$ $\Rightarrow{\boxed{RS = 3\sqrt{10}}}$
Aplicando nuevamente el teorema de Euclides:
$(RQ)^2 = 10\sqrt{10} \cdot SQ$ $\Rightarrow{10^2 = 10\sqrt{10}SQ}$ $\Rightarrow{\dfrac{100}{10\sqrt{10}}=SQ}$ $\Rightarrow{\dfrac{10}{\sqrt{10}}=SQ}$
Racionalizando:
$\dfrac{10\sqrt{10}}{10}=SQ$ $\Rightarrow{\boxed{\sqrt{10} = SQ}}$
Ahora estamos en condiciones de contestar las afirmaciones:
Si $PQ = 10\sqrt{10}$ y $RQ=10$, entonces por el teorema de pitagoras tenemos que: $(PQ)^2 - (RQ)^2 = (PR)^2 \Rightarrow{\boxed{PR=30}}$.
Ahora aplicando el teorema de Euclides:
$RS = \dfrac{30 \cdot 10}{10\sqrt{10}}$ $\Rightarrow{RS = \dfrac{30}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}}$ $\Rightarrow{RS = \dfrac{30\sqrt{10}}{10}}$ $\Rightarrow{\boxed{RS = 3\sqrt{10}}}$
Aplicando nuevamente el teorema de Euclides:
$(RQ)^2 = 10\sqrt{10} \cdot SQ$ $\Rightarrow{10^2 = 10\sqrt{10}SQ}$ $\Rightarrow{\dfrac{100}{10\sqrt{10}}=SQ}$ $\Rightarrow{\dfrac{10}{\sqrt{10}}=SQ}$
Racionalizando:
$\dfrac{10\sqrt{10}}{10}=SQ$ $\Rightarrow{\boxed{\sqrt{10} = SQ}}$
Ahora estamos en condiciones de contestar las afirmaciones:
- I. Verdadera ya que el perímetro del triángulo
$RSQ = \overline{RS} + \overline{SQ} + \overline{RQ} = 3\sqrt{10} + \sqrt{10} + 10 = 4\sqrt{10}+10$ - II. Falsa
- III. Verdadera
2. Se puede determinar el valor numérico de $p$ si:
(1) $q-p =25$
(2) El triple de $p$ es igual a la mitad de $q$
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
___________________________________________________________________
Alternativa: $C$
Solución:
(1) $q-p=25$. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de $p$, ya que se tiene sólo una ecuación y dos incógnitas.
(2) El triple de $p$ es igual a la mitad de $q$. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de $p$, ya que se tiene sólo una ecuación y dos incógnitas.
Con ambas informaciones, sí es posible determinar el valor numérico de $p$ ya que se forma un sistema de ecuaciones y al resolverlo, obtenemos el conjunto solución al problema. Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas.
___________________________________________________________________
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. $f(x) = -3x-6$ corresponde a una función creciente
II. La recta cuya función es $f(x)=5x-2$, intersecta al eje $Y$ en $(-2,0)$
III. La pendiente de la función $f(x)=\dfrac{8x+4}{4}$ es $8$
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
___________________________________________________________________
Alternativa: $E$
Solución:
I. Falsa, ya que la pendiente es negativa, por lo tanto la función es decreciente.
II. Falsa, ya que intersecta al eje $Y$ en $(0,-2)$
III. Falsa, ya que la pendiente es $2$
