1. En la figura, el triángulo PQR es rectángulo en R y \overline{RS} \perp \overline{PQ}, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?.
I. El perímetro del triángulo RSQ = 4\sqrt{10}+10
III. RP = 30
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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Alternativa: A
Solución:
Ahora aplicando el teorema de Euclides:
RS = \dfrac{30 \cdot 10}{10\sqrt{10}} \Rightarrow{RS = \dfrac{30}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} \Rightarrow{RS = \dfrac{30\sqrt{10}}{10}} \Rightarrow{\boxed{RS = 3\sqrt{10}}}
Aplicando nuevamente el teorema de Euclides:
(RQ)^2 = 10\sqrt{10} \cdot SQ \Rightarrow{10^2 = 10\sqrt{10}SQ} \Rightarrow{\dfrac{100}{10\sqrt{10}}=SQ} \Rightarrow{\dfrac{10}{\sqrt{10}}=SQ}
Racionalizando:
\dfrac{10\sqrt{10}}{10}=SQ \Rightarrow{\boxed{\sqrt{10} = SQ}}
Ahora estamos en condiciones de contestar las afirmaciones:
Si PQ = 10\sqrt{10} y RQ=10, entonces por el teorema de pitagoras tenemos que: (PQ)^2 - (RQ)^2 = (PR)^2 \Rightarrow{\boxed{PR=30}}.
Ahora aplicando el teorema de Euclides:
RS = \dfrac{30 \cdot 10}{10\sqrt{10}} \Rightarrow{RS = \dfrac{30}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} \Rightarrow{RS = \dfrac{30\sqrt{10}}{10}} \Rightarrow{\boxed{RS = 3\sqrt{10}}}
Aplicando nuevamente el teorema de Euclides:
(RQ)^2 = 10\sqrt{10} \cdot SQ \Rightarrow{10^2 = 10\sqrt{10}SQ} \Rightarrow{\dfrac{100}{10\sqrt{10}}=SQ} \Rightarrow{\dfrac{10}{\sqrt{10}}=SQ}
Racionalizando:
\dfrac{10\sqrt{10}}{10}=SQ \Rightarrow{\boxed{\sqrt{10} = SQ}}
Ahora estamos en condiciones de contestar las afirmaciones:
- I. Verdadera ya que el perímetro del triángulo
RSQ = \overline{RS} + \overline{SQ} + \overline{RQ} = 3\sqrt{10} + \sqrt{10} + 10 = 4\sqrt{10}+10 - II. Falsa
- III. Verdadera
2. Se puede determinar el valor numérico de p si:
(1) q-p =25
(2) El triple de p es igual a la mitad de q
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Alternativa: C
Solución:
(1) q-p=25. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de p, ya que se tiene sólo una ecuación y dos incógnitas.
(2) El triple de p es igual a la mitad de q. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de p, ya que se tiene sólo una ecuación y dos incógnitas.
Con ambas informaciones, sí es posible determinar el valor numérico de p ya que se forma un sistema de ecuaciones y al resolverlo, obtenemos el conjunto solución al problema. Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas.
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3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. f(x) = -3x-6 corresponde a una función creciente
II. La recta cuya función es f(x)=5x-2, intersecta al eje Y en (-2,0)
III. La pendiente de la función f(x)=\dfrac{8x+4}{4} es 8
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
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Alternativa: E
Solución:
I. Falsa, ya que la pendiente es negativa, por lo tanto la función es decreciente.
II. Falsa, ya que intersecta al eje Y en (0,-2)
III. Falsa, ya que la pendiente es 2
