PSU Matemáticas: Números Enteros

Números Enteros

Unidad: Números y Proporcionalidad

Los elementos del conjunto $\mathbb{Z} = \left \{ {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4....} \right \}$ se denominan "números enteros".

Operatoria en $\mathbb{Z}$

Antes daremos una definición de valor absoluto simple, más adelante se dará una definición más formal. Valor absoluto es el valor numérico de un número, es decir, sin tomar en cuenta su signo, ya sea su signo positivo $(+)$ o su signo negativo $(-)$, así por ejemplo, el valor absoluto de $3$ es $3$ y el valor absoluto de $-3$ también es $3$. Entonces,  volviendo a la operatoria en $\mathbb{Z}$

Adición: 

• Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común.
• Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

Multiplicación:

• Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo
• Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo

Observación: la división cumple con las reglas de la multiplicación

Aveces sucede que se pueden juntar dos signos seguidos como es el caso de $-(-3)$ o $+(-5)$ o $-(+14)$ etc. para estos casos es necesario que recuerdes esta tabla:

Después de esto podemos darnos cuenta que en realidad $-(-3) = 3$ o que $+(-5)=-5$ y que $-(+14)=-14$

Ejemplos:
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1. Resolver $-2 + (-107)$

A) $-109$
B) $-105$
C)    $105$
D)    $109$
E)    $214$

Solución: son dos números de igual signo $(-)$, entonces según la teoría procedemos de por sumar los valores absolutos de ellos y conservamos el signo común. 
$$-2 + (-107)= -(2+107) = -(109) = -109$$
Por lo tanto la respuesta correcta es la $A$
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2. Si al número entero (-4) le restamos el número entero (-12), entonces resulta:

A) $-16$
B) $-8$
C)    $8$
D)   $16$
E)   $48$
Solución: al igual que en el ejemplo $1$ son dos números de igual signo $(-)$ con la diferencia que ahora se restan, entonces tenemos  $(-4)-(-12)$ y según lo visto en la tabla, cuando tenemos dos signos $(-)$ juntos el resultado es un signo $(+)$ entonces. Resolvamos:
$$(-4)-(-12) = (-4)--(12)= (-4)+12 = -4 + 12 = 8$$
pues números con signos contrarios se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto, en este caso es $12$ y este es positivo por lo tanto la respuesta correcta es $C$.
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3. Dados los números $a=-3+3$, $b=1-3$ y $c=-4:-2$. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdaderas(s)?

I) $a$ y $b$ son números enteros
II) $a$ no es un número natural
III) $(c-b)$ es un número natural

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

Solución: resolviendo cada letra tenemos que 

• $a=-3+3 =0$ 
• $b=1-3 = -2$
• $c=-4:-2=2$ 

entonces de aquello podemos concluir que: 

• $a$ es $0$ por lo tanto no es un número natural, nosotros definimos que $0$ no pertenece a los números naturales, pertenece a los números cardinales, y los números cardinales son un subconjunto de los números enteros, por lo tanto $a$ si es un número entero. con lo que la opción II) es falsa
• $b$ es $-2$ lo cuál es un número entero, con lo cual I) es verdadera pues $a$ también es número entero.
• $c$ es un número natural y a la vez es un número entero, pues los números naturales son subconjunto de los números enteros. al restar $(c-b)$ tenemos que $(2--2) = (2+2) = 4$, que si es un número natural, por lo tanto III) es verdadera

Como I) y III) son verdaderas entonces la respuesta correcta es $C$.