Enunciado: Si $f(x+1)=13x+7\,$ y $\,g(2x-1)=6x+11$ entonces.
Hallar $f(g(x))+g(f(x))$
A) $39x-4$
B) $172x+78$
C) $39x+176$
D) $78x+172$
E) Ninguna de las expresiones anteriores
Alternativa: $D$
Solución:
Antes que nada, veamos que nos piden hallar expresiones que están "en la forma" de $f(x)$ y $g(x)$, y del dato tenemos a $f(x+1)$ y a $g(2x-1)$. Propongamonos pasar de $f(x+1)$ a $f(x)$ y de $g(2x-1)$ a $g(x)$ y para ellos emplearemos un artilugio matemático, que se trata de sumar por $0$. veamos:
Si $f(x+1)=13x+7$ entonces esto es equivalente a que $f(x+1)=13x+0+7$ pues sumar por $0$ no afecta en nada a la expresión. Ahora esto también es equivalente a que $f(x+1)=13x+13-13+7$ y si factorizamos adecuadamente y restamos esto sera equivalente a $f(x+1)=13(x+1)-6$, y ¿qué hemos conseguido con esto?, igualar la variable independiente, pues sí
$$f(x+1)=13(x+1)-6 \Rightarrow{f(x)=13x-6}$$
De un modo idéntico procederemos con $g(2x-1)$, entonces, tenemos que:
$g(2x-1)=6x+11 \Rightarrow{g(2x+1)=6x+0+11} \Rightarrow{g(2x+1)=6x-3+3+11}$
Ahora factorizando adecuadamente y sumando tenemos que $g(2x+1)=3(2x+1)+14$ logrando así igualar la variable independiente. entonces concluimos igual que anteriormente que $g(x)=3(x)+14$
Teniendo ya la expresión $f(x)=13x-6$ y la expresión $g(x)=3(x)+14$ podemos hallar lo que se nos pide y lo haremos por parte:
- $f(g(x))=13(g(x))-6 = 13(3(x)+14)-6 = 39x+176$
- $g(f(x))=3(f(x))+14=3(13x-6)+14=39x-4$
Ahora sumando $f(g(x))+g(f(x))=39x+176+39x-4=\boxed{78x+172}$
