Desafíos PSU Matemática N°1

Enunciado: Dadas las siguientes expresiones algebraicas:

$A=\sqrt[n]{\dfrac{90^{n+1}}{9^{n+2} + 3^{2n+2}}}$  $B=\dfrac{2 \cdot 3^{n+1}+3^{n+2}}{2\cdot 3^{n+1}-3^n}$

Al sumar $A + B$ el resultado es:

A) $10$

B) $9$

C) $13$

D) $3$

E) $0$

$\boxed{\textrm{Mostrar Solución}}$

Alternativa: $C$

Solución: 

Antes de sumar $A+B$ simplificamos $A$ y $B$ por separado. entonces tenemos que:

$A= \sqrt[n]{\dfrac{90^{n+1}}{9^{n+2}+3^{2n+2}}} =\sqrt[n]{\dfrac{9^{n+1}\cdot 10^{n+1}}{9^n \cdot 9^2+3^{2n} \cdot 3^2}}=\sqrt[n]{\dfrac{9^n \cdot 9 \cdot 10^n \cdot 10}{9^n \cdot 9^2 + 9^n \cdot 9}}$

$\, \, \,  =\sqrt[n]{\dfrac{9^n \cdot 10^n \cdot 90}{9^n(9^2 +9)}}=\sqrt[n]{\dfrac{10^x \cdot 90}{90}} = \sqrt[n]{10^n} = 10\, \,$ es decir $\, \,\boxed{A = 10}$

Ahora simplificaremos $B$, entonces:

$B = \dfrac{2 \cdot 3^{n+1}+3^{n+2}}{2\cdot 3^{n+1}-3^n}= \dfrac{2 \cdot 3^n \cdot 3+3^n \cdot 3^2}{2 \cdot 3^n \cdot 3-3^n}= \dfrac{3^{n}(2 \cdot 3 +9)}{3^n(2\cdot 3-1}=\dfrac{15}{5}=3$

es decir $\,\, \boxed{B=3}$

Ahora sumando $A+B = 10 +3 = 13$ 

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