Enunciado: Dadas las siguientes expresiones algebraicas:
$A=\sqrt[n]{\dfrac{90^{n+1}}{9^{n+2} + 3^{2n+2}}}$ $B=\dfrac{2 \cdot 3^{n+1}+3^{n+2}}{2\cdot 3^{n+1}-3^n}$
Al sumar $A + B$ el resultado es:
A) $10$
B) $9$
C) $13$
D) $3$
E) $0$
Alternativa: $C$
Solución:
Antes de sumar $A+B$ simplificamos $A$ y $B$ por separado. entonces tenemos que:
$A= \sqrt[n]{\dfrac{90^{n+1}}{9^{n+2}+3^{2n+2}}} =\sqrt[n]{\dfrac{9^{n+1}\cdot 10^{n+1}}{9^n \cdot 9^2+3^{2n} \cdot 3^2}}=\sqrt[n]{\dfrac{9^n \cdot 9 \cdot 10^n \cdot 10}{9^n \cdot 9^2 + 9^n \cdot 9}}$
$\, \, \, =\sqrt[n]{\dfrac{9^n \cdot 10^n \cdot 90}{9^n(9^2 +9)}}=\sqrt[n]{\dfrac{10^x \cdot 90}{90}} = \sqrt[n]{10^n} = 10\, \,$ es decir $\, \,\boxed{A = 10}$
Ahora simplificaremos $B$, entonces:
$B = \dfrac{2 \cdot 3^{n+1}+3^{n+2}}{2\cdot 3^{n+1}-3^n}= \dfrac{2 \cdot 3^n \cdot 3+3^n \cdot 3^2}{2 \cdot 3^n \cdot 3-3^n}= \dfrac{3^{n}(2 \cdot 3 +9)}{3^n(2\cdot 3-1}=\dfrac{15}{5}=3$
es decir $\,\, \boxed{B=3}$
Ahora sumando $A+B = 10 +3 = 13$
