Enunciado: En la figura, se muestran dos semicircunferencias de diámetro \overline{AB} y \overline{PB}. Si PB=5 \textrm{cm} y el área sombreada mide 50\pi \textrm{cm}^2, entonces. ¿Cuánto mide \overline{AB}
A) 5\sqrt{3} \textrm{cm}
B) 5\sqrt{5} \textrm{cm}
C) 15\textrm{cm}
D) 5\sqrt{15} \textrm{cm}
E) 5\sqrt{17} \textrm{cm}
Alternativa: E
Solución:
El área de una círculo se calcula como r^2 \cdot \pi , por lo tanto, el área de un semicirculo sera igual a \dfrac{r^2 \cdot \pi}{2}. Además, si consideramos que r = \dfrac{d}{2} donde d es el diámetro, entonces el área de un semicírculo se puede calcular también como:
\dfrac{(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi}{2} = \dfrac{d^2 \cdot \pi}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{d^2 \cdot \pi}{8}
Entonces el \textrm{Área sombreada} se calcula como:
\textrm{Área del semicírculo mayor} - \textrm{Área del semicírculo menor}
es decir:
50 \pi = \dfrac{x^2 \cdot \pi}{8} - \dfrac{25 \cdot \pi}{8} \Rightarrow{400 = x^2 - 25} \Rightarrow{425 =x^2} \Rightarrow{\sqrt{425}=x}
Ahora descomponiendo la raíz:
\sqrt{425}=\sqrt{25\cdot 17} \Rightarrow{5\sqrt{17 }= x}
Por lo tanto \boxed{AB = 5\sqrt{17} \textrm{cm}}
