Enunciado: En la figura, se muestran dos semicircunferencias de diámetro $\overline{AB}$ y $\overline{PB}$. Si $PB=5 \textrm{cm}$ y el área sombreada mide $50\pi \textrm{cm}^2$, entonces. ¿Cuánto mide $\overline{AB}$
A) $5\sqrt{3} \textrm{cm}$
B) $5\sqrt{5} \textrm{cm}$
C) $15\textrm{cm}$
D) $5\sqrt{15} \textrm{cm}$
E) $5\sqrt{17} \textrm{cm}$
Alternativa: $E$
Solución:
El área de una círculo se calcula como $r^2 \cdot \pi $, por lo tanto, el área de un semicirculo sera igual a $\dfrac{r^2 \cdot \pi}{2}$. Además, si consideramos que $r = \dfrac{d}{2}$ donde $d$ es el diámetro, entonces el área de un semicírculo se puede calcular también como:
$$\dfrac{(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi}{2} = \dfrac{d^2 \cdot \pi}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{d^2 \cdot \pi}{8}$$
Entonces el $\textrm{Área sombreada}$ se calcula como:
$\textrm{Área del semicírculo mayor} - \textrm{Área del semicírculo menor}$
es decir:
$50 \pi = \dfrac{x^2 \cdot \pi}{8} - \dfrac{25 \cdot \pi}{8} \Rightarrow{400 = x^2 - 25} \Rightarrow{425 =x^2} \Rightarrow{\sqrt{425}=x}$
Ahora descomponiendo la raíz:
$\sqrt{425}=\sqrt{25\cdot 17} \Rightarrow{5\sqrt{17 }= x}$
Por lo tanto $\boxed{AB = 5\sqrt{17} \textrm{cm}}$
