Enunciado: En un naipe de $52$ cartas, cual es la probabilidad de que al tomar $4$ cartas, sean todas números distintos.
A) $\dfrac{50}{44} \cdot \dfrac{49}{51} \cdot \dfrac{48}{40} \cdot \dfrac{52}{51}$
B) $\dfrac{52}{51} \cdot \dfrac{48}{50} \cdot \dfrac{44}{49} \cdot \dfrac{40}{48}$
C) $\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{4}{48} \cdot \dfrac{4}{44} \cdot \dfrac{4}{40}$
D) $1 \cdot \dfrac{48}{51} \cdot \dfrac{44}{50} \cdot \dfrac{40}{49}$
E) $1 \cdot \dfrac{51}{48} \cdot \dfrac{50}{44} \cdot \dfrac{49}{40}$
Alternativa: $D$
Solución:
1. Al tomar la primera carta, es trivial, pues la probabilidad que yo tome esa carta y sea distinta a todas las demás es un suceso que si o sí ocurrira por ser la primera es decir $P(A_1)=1$, o escrito de otra manera $P(A_1) = \dfrac{52}{52}$
2. Al tomar la segunda carta, esta no puede ser igual a la primera ya tomada, es decir, si yo en la primera carta obtuve un siete en la segunda carta ya no podre tener un siete y por ende debo reducir los casos favorables en $4$ pues en un mazo de naipes hay $4$ sietes, y además debo reducir los casos posibles en $1$ porque ya saque una carta, que fue la primera, por lo tanto $P(A_2)= \dfrac{52-4}{52-1}=\dfrac{48}{51}$
3. Siguiendo con la analogía, al sacar la tercera carta obtendre $P(A_3)=\dfrac{48-4}{51-1}=\dfrac{44}{50}$
4. Lo mismo con la cuarta carta, la probabilidad sera $P(A_4)= \dfrac{44-4}{50-1}=\dfrac{40}{49}$
Al ser cartas distintas, son también sucesos independientes, por lo tanto la probabilidad total sera:
$P(A)=P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot P(A_4)= 1 \cdot \dfrac{48}{51} \cdot \dfrac{44}{50} \cdot \dfrac{40}{49}$
