PSU Matemáticas ejercicios resueltos N°6

1. En la figura, $O$ es centro de la circunferencia de radio $12 \textrm{cm}$ y $\alpha = 15°$. ¿Cuánto mide el área del sector circular $AOB$?

A) $\dfrac{\pi}{2} \textrm{cm}^2$

B) $2\pi \textrm{cm}^2$

C) $3 \pi \textrm{cm}^2$

D) $6 \pi \textrm{cm}^2$

E) $12 \pi \textrm{cm}^2$

___________________________________________________________________

Alternativa: $E$

Solución:

Como el ángulo $AOB$ es del centro, entonces $\angle AOB = 2\alpha = 30°$

Aplicando la fórmula del área del sector, como radio = $12 \textrm{cm}$, tenemos:

Área sector circular $AOB=\dfrac{\pi \cdot 12^2 \cdot 30°}{360°}$

Área sector circular $AOB= \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 30°}{360°}$

Área sector circular $AOB=12\pi \textrm{cm}^2$

___________________________________________________________________

2. Se tiene cuatro cajas: $X, Y, Z$ y $W$. La caja $X$ contiene $6$ claveles amarillos y $2$ claveles rosados, la caja $Y$ contiene $7$ claveles amarillos y $3$ claveles rosados, la caja $Z$ contiene $4$ claveles amarillos y $2$ claveles rosados y la caja $W$ contiene $8$ claveles amarillos y $4$ claveles rosados, todos de igual peso y tamaño. Si se saca al azar un clavel de cada caja. ¿Cuál es la probabilidad de que los $4$ claveles sean rosados?

A) $\dfrac{1}{34.992}$

B) $\dfrac{1}{120}$

C) $\dfrac{1}{48}$

D) $\dfrac{11}{36}$

E) Ninguna de las probabilidades anteriores.

___________________________________________________________________

Alternativa: $B$

Solución:

Aplicando la regla de probabilidad compuesta, tenemos que:

$P($los $4$ claveles sean rosados$)=P($rosado$) \cdot P($rosado$)\cdot P($rosado$)\cdot P($rosado$)$

$P($los $4$ claveles sean rosados$)= \dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{120}$

___________________________________________________________________

3. La señora Cecilia compró una sandia y tres melones en $\$3.600$. Si la razón entre el precio de un melón y el precio de una sandía es $1:3$, ¿Cuál es el precio de un melón?

A) $\$600$

B) $\$900$

C) $\$1.080$

D) $\$1.800$

E) $\$2.700$

___________________________________________________________________

Alternativa: $A$

Solución:

Como la razón entre el precio de un melón y el precio de una sandría es $1:3$, podemos establecer que:

Precio melón = $x = k$ y Precio sandía = $y = 3k$

Entonces podemos plantear que:

$3x+y=3.600 \Rightarrow{3k+3k =3.600} \Rightarrow{k=\dfrac{3.600}{6}} = 600$

Luego como $x=k$ entonces $x=600$

El precio de un melón es $\$600$

___________________________________________________________________