1. En la figura, $ABCD$ es un rombo y las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se intersectan en $E$. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. $\Delta AED \cong \Delta CED$
II. $\Delta BEA \cong \Delta DEC$
III. $\angle AEB \cong \angle BEC$
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
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Alternativa: $E$
Solución:
Considerando que en el rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y bisectrices de los ángulos, siendo además los ángulos opuestos iguales, entonces se forman $4$ triángulos rectángulos congruentes, luego:
I. Verdadera, son congruentes por el criterio ángulo-lado-ángulo
II. Verdadera, son congruentes por el criterio ángulo-lado-ángulo.
III. Verdadera, ya que las diagonales son perpendiculares
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2. Consuelo en $7$ años más tendrá el doble de la edad que tenía hace $3$ años. ¿Qué edad tendrá Consuelo en $5$ años más?
A) $9$ años
B) $10$ años
C) $13$ años
D) $15$ años
E) $18$ años
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Alternativa: $E$
Solución:
Sea $x$ la edad actual de Consuelo:
$x+7=2(x-3)$
$x+7=2x-6$
$13=x$
Por lo tanto, la edad actual de Consuelo es $13$ años, entonces en $5$ años más tendrá $18$ años.
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3. Dada la expresión $x^3-x^2y-x^3y+x^2y^2$. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de ella?
I. $x^2$
II. $(x-y)$
III. $(1-y)$
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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Alternativa:$E$
Solución:
Factorizando la expresión tenemos:
$x^3-x^2y-x^3y+x^2y^2=x^2(x-y-xy+y^2)$
$=x^2((x-y)-y(x-y))$
$=x^2(1(x-y)-y(x-y)$
$=x^2(x-y)(1-y)$
Entonces: I. es factor, II es factor, y III también es factor
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