1. En la figura, $O$ es centro de la circunferencia, $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son cuerdas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I. $CE= ED$
II. $\overline{AE} \cdot \overline{EB}=\overline{CE} \cdot \overline{ED}$
III. $\overline{OE}$ es apotema
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
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Alternativa: $E$
Solución:
I. Verdadera ya que si el radio es perpendicular a la cuerda, la dimidia.
II. Verdadera ya que $\overline{AE} \cdot \overline{EB} = \overline{CE} \cdot \overline{ED}$ por teorema de las cuerdas.
III. Verdadera, por definición apotema significa la menor distancia entre el centro y cualquiera de los lados de un polígono regular, y $\overline{CD}$ en este caso viene siendo un lado de un polígono regular inscrito en la circunferencia, por lo tanto $\overline{OE}$ sera la menor distancia desde el centro hasta aquel lado.
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2. En la figura, $R$ divide al segmento $PQ$ en la razón $6:11$. Si $RQ=55$ cm. ¿Cuánto mide $\overline{PQ}$?
A) $30$ cm
B) $85$ cm
C) $100.8\overline{3}$ cm
D) $155.8\overline{3}$ cm
E) Ninguna de las medidas anteriores.
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Alternativa: $B$
Solución:
Si $R$ divide al trazo $PQ$ interiormente tenemos:
$\dfrac{PR}{RQ}= \dfrac{6}{11}$
$\dfrac{PR}{55} = \dfrac{6}{11}$
$PR=30$, luego $PQ=85$ cm.
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3. Sea $z \neq -x$, se puede determinar el valor numérico de la expresión $\dfrac{x(7y+5z)}{z+x}$ si:
(1) $z=0$, $x\neq 0$
(2) $x=0$, $z\neq 0$
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
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Alternativa: $B$
Solución:
(1) $z=0$, $x\neq 0$. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de la expresión, ya que:
$\dfrac{x(7y+5z)}{z+x} = \dfrac{x(7y+0)}{0+x} = \dfrac{x \cdot 7y}{x} = 7y$
(2) $x=0$, $z\neq 0$. Con esta información, sí es posible determinar el valor numérico de la expresión $\dfrac{x(7y+5z)}{z+x}$, ya que todo número multiplicado por $0$ es $0$ y el denominador es distinto de $0$ es decir, la expresión no se indetermina.
Por lo tanto, la respuesta es (2) por sí sola.
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