PSU Matemáticas ejercicios resueltos N°9

1. En la figura, $O$ es centro de la circunferencia, $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son cuerdas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. $CE= ED$

II. $\overline{AE} \cdot \overline{EB}=\overline{CE} \cdot \overline{ED}$

III. $\overline{OE}$ es apotema

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

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Alternativa: $E$

Solución: 

I. Verdadera ya que si el radio es perpendicular a la cuerda, la dimidia.

II. Verdadera ya que $\overline{AE} \cdot \overline{EB} = \overline{CE} \cdot \overline{ED}$ por teorema de las cuerdas.

III. Verdadera, por definición apotema significa la menor distancia entre el centro y cualquiera de los lados de un polígono regular, y $\overline{CD}$ en este caso viene siendo un lado de un polígono regular inscrito en la circunferencia, por lo tanto $\overline{OE}$ sera la menor distancia desde el centro hasta aquel lado.

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2. En la figura, $R$ divide al segmento $PQ$ en la razón $6:11$. Si $RQ=55$ cm. ¿Cuánto mide $\overline{PQ}$?

A) $30$ cm

B) $85$ cm

C) $100.8\overline{3}$ cm

D) $155.8\overline{3}$ cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

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Alternativa: $B$

Solución:

Si $R$ divide al trazo $PQ$ interiormente tenemos:

$\dfrac{PR}{RQ}= \dfrac{6}{11}$

$\dfrac{PR}{55} = \dfrac{6}{11}$

$PR=30$, luego $PQ=85$ cm.

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3. Sea $z \neq -x$, se puede determinar el valor numérico de la expresión $\dfrac{x(7y+5z)}{z+x}$ si:

(1) $z=0$, $x\neq 0$

(2) $x=0$, $z\neq 0$

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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Alternativa: $B$

Solución:

(1) $z=0$, $x\neq 0$. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de la expresión, ya que:

$\dfrac{x(7y+5z)}{z+x} = \dfrac{x(7y+0)}{0+x} = \dfrac{x \cdot 7y}{x} = 7y$

(2) $x=0$, $z\neq 0$. Con esta información, sí es posible determinar el valor numérico de la expresión $\dfrac{x(7y+5z)}{z+x}$, ya que todo número multiplicado por $0$ es $0$ y el denominador es distinto de $0$ es decir, la expresión no se indetermina.

Por lo tanto, la respuesta es (2) por sí sola.

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